Benoit Mandelbrot, matemático
francés, de origen polaco.
Juan José R. Calaza* y Guillermo de la Dehesa*
La crisis financiera llamada de las "subprime"
(Guillermo de la Dehesa: "La primera gran crisis financiera del siglo
XXI") ha suscitado comprensibles interrogaciones respecto al papel de las
matemáticas en la elaboración de los productos financieros. Este papel no debe
cuestionarse aunque hay que conocer sus límites, entre los cuales la
sub-evaluación del riesgo. En última instancia, la contribución de las
matemáticas a la finanza se limita a una ayuda a la decisión y no podrá
substituir las preferencias de la sociedad.
El origen de la crisis actual se enraíza en el estallido de
la burbuja especulativa en EE.UU. en el 2007. Lejos de tratarse de un fenómeno
sin precedentes, como a veces se ha dicho, la crisis actual repite un esquema
familiar para los economistas al compartir rasgos con otras que se produjeron
antes de la aparición de los modelos matemáticos y de cualquier "producto
financiero derivado".
Conviene dejar claro, por otra parte, que si la historia de la especulación
puede explicarse sin los productos financieros derivados cada innovación en
este campo estimula nuevas ambiciones especulativas: puede haber especulación
sin productos derivados pero no hay innovación en productos financieros que
antes o después no lleve a la especulación. Toda innovación en este terreno
estimula nuevas estrategias especulativas que pueden provocar a la postre una
crisis financiera.
En su descargo diremos también que, aunque imperfectamente, los modelos
matemáticos sirven para cuantificar el riesgo que corren los inversores y
prestamistas: son instrumentos de ayuda a la decisión. Sin embargo, salvo raras
excepciones ningún banco ni fondo de inversión fundamenta una decisión mayor en
una fórmula matemática. La decisión de los bancos estadounidenses de invertir
masivamente en créditos arriesgados (subprimes) no fue dictada por ningún
modelo matemático sino por la búsqueda de rentabilidades crecientes.
No obstante, incluso si los modelos matemáticos no provocaron la crisis esta ha
puesto de relieve fallos en la gestión y el modelado de riesgos en bancos,
agencias de notación, sistemas de regulación e instituciones financieras ¿Se
trata de un fallo de los métodos cuantitativos, de una incorrecta utilización
de dichos métodos o de la subutilización de los métodos disponibles?
Habida cuenta de la complejidad creciente de demandas de coberturas de riesgo
la finanza matemática resulta insoslayable. Actualmente, casi todas las
facultades de matemáticas de las mejores universidades del mundo albergan un
departamento de finanzas o como mínimo dispensan formaciones aplicadas a la
finanza. Esta nueva especialidad se desarrolló a partir de los avances en
análisis probabilístico/estocástico que permitieron combinar el análisis
matemático clásico y la teoría moderna de probabilidades surgida de la genial
mente de Kolmogorov hace ochenta años. No obstante, la sofisticación y
tecnicismo de esta disciplina –comparable al de la física- no debe hacernos
perder de vista que los problemas suscitados por la gestión del riesgo distan
de estar resueltos.
Los productos financieros derivados empezaron a proliferar al calor del modelo
Black-Scholes, aunque en justicia habría que añadir a Merton. La opacidad
técnica de estos productos mete miedo al común de los mortales ya que serían,
según algunos políticos, las palancas esenciales de una economía de casino en
manos de especuladores. No obstante, debemos recordar, que no hay producto
financiero que pueda desarrollar su uso si no es ante todo un instrumento de
cobertura del riesgo; en consecuencia, por sofisticado e inextricable que sea
el cálculo matemático que los evalúa, son instrumentos financieros útiles. En
definitiva, no se trata tanto de uso excesivo de las matemáticas como de su
pertinencia.
Los modelos de la moderna teoría financiera. La teoría financiera de los
últimos sesenta años se ha levanto sobre tres pilares: a) maximización de la
esperanza de utilidad de los agentes que intervienen en los mercados
financieros; b) hipótesis de ausencia de arbitraje; c) eficiencia de los
mercados financieros. Simplificando, sobre esas bases se desarrolló el
siguiente corpus teórico: Teoría de diversificación de cartera (Markowitz,
1952); Modelo de equilibrio de los activos financieros (Sharpe, 1964); Modelo
de evaluación de opciones (Black y Scholes, 1973; Merton, 1973).
El precursor fue Louis Bachelier que sentó los cimientos en su doctorado de
matemáticas -"Théorie de la spéculation" (1900)- al modelizar las
variaciones de los precios en Bolsa como variaciones aleatorias independientes.
Bachelier consideró en su modelo que las variaciones del precio de una acción
en intervalos de tiempo sucesivos –por ejemplo, desde que se abre hasta que se
cierra la Bolsa cada día- son variables independientes que siguen una ley
normal (la gráfica de la función de densidad de una distribución normal tiene
forma acampanada y es simétrica respecto a un determinado parámetro; además,
las "colas" o extremos decrecen exponencialmente a ambos lados de la
media). Quiere decirse, los valores de los precios entre dos instantes
sucesivos obedecen a probabilidades que pueden describirse por una ley normal
caracterizada por una desviación estándar –coeficiente de dispersión respecto a
la media o valor central del precio de la acción- que mide la amplitud de las
fluctuaciones.
El modelo de Bachelier implica que el precio de una acción o un índice sigue un
proceso browniano análogo al movimiento errático de las partículas
microscópicas que sufren los choques aleatorios de las moléculas del entorno en
el agua, por ejemplo, o en una habitación cerrada. Este modelo abrió la puerta
en los años setenta del pasado siglo a la posibilidad de considerar contratos
de seguros contra las fluctuaciones del mercado –seguros que se conocen como
productos derivados u opciones- y de valorarlos en cierta medida a la manera
como los actuarios calculan las primas en los seguros.
Entre los avances en análisis estocástico sobre los que se levantó el complejo
edificio de la teoría financiera hay que citar los trabajos de Norbert Wiener
(1894-1964) que elaboró una formalización rigurosa del movimiento browniano
(bautizado después proceso de Wiener si bien en un principio algunos
probabilistas, como Feller, lo denominaban de Bachelier-Wiener). Paul Levy
(1886-1971) exploró sus características y dejó su nombre a procesos estocásticos
más generales susceptibles de presentar discontinuidades o saltos. Más tarde,
el cálculo estocástico se desarrolló gracias a la teoría de la integral
estocástica del japonés Ito (1915-2008) Finalmente, Joseph Leo Doob (1910-2004)
alumbró el concepto de martingala abundantemente utilizado en finanzas. De
consuno, Doob estableció con el matemático francés Paul-André Meyer (1934-2003)
los fundamentos de la teoría moderna de las semi-martingalas una de cuyas
aplicaciones es el modelado de procesos que representan la evolución de los
precios de activos financieros.
Pertrechados de estos instrumentos técnicos, economistas, físicos y matemáticos
pudieron atacar las cuestiones financieras a partir de la década de los setenta
del pasado siglo coincidiendo con la apertura en Chicago del primer mercado de
opciones que tenían como subyacentes materias primas. Así, los susodichos
Black, Scholes y Merton se hicieron celebres –que en EE.UU equivale a hacerse
ricos- gracias a su Option Pricing Formula destinada a evaluar los precios de
las opciones y calcular una cobertura dinámica del riesgo. El así llamado
modelo de Black-Scholes da una respuesta válida respecto a lo que es el
"justo precio" de una opción siempre y cuando el precio del activo
subyacente pueda representarse por un movimiento browniano geométrico como el
que expuso Bachelier.
El toque de atención de Mandelbrot. Uno de los primeros desacuerdos con los
fundamentos de esos modelos surgió de las investigaciones de Mandelbrot. En el
frío invierno de 1962, en Pittsburgh, Benoît Mandelbrot (1924-2010), por
entonces oscuro matemático francés, de origen polaco, presentó en el congreso
anual de econometría los resultados obtenidos después de haber estudiado las
variaciones de la cotización del algodón de una serie de sesenta años. Los
resultados cayeron como una bomba entre los especialistas de la finanza: los
cursos no se distribuían siguiendo una ley normal/Gauss. Por el contrario, en
completa oposición a lo que propugnaba la teoría, las cotizaciones del algodón
seguían una ley de potencia (en relación con estas leyes estadísticas puede
verse Calaza y De la Dehesa: "¿Por qué crecen las ciudades?", Faro de
Vigo, 27/10/2010) en las que los valores extremos son mucho más frecuentes que
en la ley normal/Gauss.
Con las leyes de potencia, las situaciones de equilibrio son la excepción, la
inestabilidad es la norma y los valores extremos son frecuentes. Mandelbrot
calificó este comportamiento de "azar perverso/brutal" (hasard
sauvage) por oposición al comportamiento aleatorio pero continuo y bastante
benigno del movimiento browniano ("azar benigno"/hasard sage).
Sugirió entonces reemplazar el movimiento browniano por una clase de procesos
aleatorios que reflejasen ese carácter perverso, salvaje: los procesos de Levy.
Estos procesos, estudiados treinta años antes por Paul Levy, que había sido
profesor de Mandelbrot, engendran una evolución discontinua de precios,
puntuada de saltos. A esos valores extremos y discontinuidades se les conoce
actualmente en finanzas como, expresión de moda, "cisne negro".
Las reservas manifestadas por Mandelbrot respecto a ley normal fueron acogidas
con escepticismo y sin embargo hoy día figuran en todos los manuales de
econometría financiera. He aquí un ejemplo que muestra que lo que falla no es la
ausencia de instrumentos cuantitativos sino su utilización atinada.
A partir de 1970, Mandelbrot empezaría a imponerse en el panorama matemático
mundial como padre de los fractales pero sus trabajos respecto a los mercados
financieros encontrarían poquísimo eco en la comunidad académica a pesar de que
los profesionales sabían que en la práctica las cosas no eran tan sencillas
como predecían los economistas y matemáticos académicos proponentes de la ley
normal. De ahí que al ignorar o subestimar la verdadera naturaleza del riesgo
inherente a la diversificación de cartera de valores mobiliarios y a los
productos financieros de reciente factura, la finanza teórica –es decir,
matemática- abocase a la crisis de las subprime. Esto es, instrumentos creados
en principio para cubrir riesgos financieros o económicos individuales acabaron
generando una crisis sistémica que desbordó perversamente a la esfera real con
desestabilizadores efectos de retroacción entre ambos niveles.
No es de extrañar, por tanto, que a partir del 15/09/2008, quiebra de Lehman
Brothers, los trabajos de Mandelbrot hayan aflorado con inusitado prestigio
popularizados por el best-seller "The Black Swan" (El cisne negro) de
la autoría de su discípulo Nassim Nicholas Taleb.
El peligro de la subestimación del riesgo. La curva de Gauss se aplica a
numerosas situaciones –siempre y cuando los fenómenos o acontecimientos sean
independientes unos de otros- tanto en las ciencias de la naturaleza como en la
física, juegos de azar y loterías o en las ciencias sociales y, según la teoría
de la eficiencia de mercados, a los cursos en Bolsa. No todas las formas de
riesgo se reducen empero a la curva de Gauss. Es el caso, por ejemplo, cuando
aparecen "efectos de memoria" y "efectos de interacción".
En esas circunstancias, se sale del universo gaussiano, bien segmentado,
reagrupado en torno a una media, para entrar en el de los extremos. En este
caso, la media, aunque pueda calcularse, carece de significado habida cuenta de
la importancia de la dispersión de datos (la desviación estándar es infinita,
en la jerga de los estadísticos).
Las leyes de potencia se encuentran en toda la economía y especialmente en los
mercados financieros. En su artículo sobre los cursos históricos del algodón
(1963), Mandelbrot las sacó a la luz por primera vez en finanzas. Paul Cootner,
su editor, declaró: "Si Mandelbrot tiene razón, la casi totalidad de
nuestros instrumentos estadísticos están obsoletos". Es especialmente
cierto de la sacrosanta eficiencia de los mercados, es decir de la idea que los
precios reflejan a cada instante toda la información disponible: en el mundo de
las leyes de potencia los intervinientes no tienen un acceso igual a la
información. Además, los fenómenos de memoria generan una dinámica intrínseca a
los mercados financieros (los aumentos siguen a los aumentos, las bajadas a las
bajadas) que no es reductible a la llegada o no de nuevas informaciones
exteriores al mercado. Y, por supuesto, las interacciones entre los diferentes
actores crean tendencias autónomas de mimetismo, que acarrean las burbujas.
A la presencia de discontinuidades (distribución de Levy por oposición a la
normal/Gauss) que corresponden a una caída brutal de las cotizaciones,
Mandelbrot la denominó "síndrome de Noé" (por referencia a la catástrofe
del diluvio). A la situación de persistencia o dependencia temporal, Mandelbrot
la llamó "síndrome de José" (siete años de abundancia, siete de vacas
flacas)
La teoría moderna de la finanza procederá durante su desarrollo a distintos
lavados de cara pero sin renunciar a las distribuciones normales. Se ampliará a
la base la curva de Gauss para tomar en cuenta los desvíos importantes y los
nuevos modelos integrarán los efectos de memoria. Pero todo ello dentro del
marco gaussiano como prueban los productos financieros desarrollados bajo la
inspiración de David X. Li -matemático de J.P. Morgan, estrella de las finanzas
en los años fastos- que han servido para elaborar las subprimes y que se
desintegraron en cuanto el precio del inmobiliario bajó fuertemente de manera
inesperada.
Un ejemplo muy sencillo muestra hasta que punto los modelos son engañosos en
cuanto a la sub-evaluación del riesgo. Si suponemos que los rendimientos
diarios siguen una ley normal, la probabilidad que un rendimiento observado se
desvíe cuatro desviaciones estándar de su media es de 0,01 por ciento, es
decir, un evento que se produce cada 63 años. Por el contrario, si se reemplaza
la distribución normal por una distribución de Student de parámetro 3, de la
misma desviación estándar, la misma probabilidad pasa a 0,62 por ciento, es
decir, un evento que se observa ¡dos veces al año¡ Constatamos que las
hipótesis respecto a la distribución de rendimientos tienen consecuencias
importantes para la toma de conciencia ante el riesgo.
¿Cómo se comparan estas cifras con el comportamiento del mercado? La serie
bianual de los rendimientos diarios del índice Dow Jones (2007 y 2008)
contienen 16 observaciones cuya amplitud sobrepasa cuatro desviaciones estándar
, lo cual da una proporción del 0,78 por ciento, es decir un poco más que la
ley de Student y 100 veces más que la ley normal. Quiere decirse, con la ley
normal sub-evaluamos el riesgo, con la de Student nos aproximamos y con una
distribución con colas "espesas", como la de Levy, estamos cerca de
la realidad. Por tanto, con otras leyes estadísticas los inversores hubiesen
perdido menos dinero toda vez que no hubieran subestimado tanto los riesgos.
Dicho esto, el modelo gaussiano funciona bien cuando no hay crisis, cuando hay
estabilidad.
Mercados financieros incompletos. Sabiendo que el riesgo es mayor de lo que
podría deducirse del modelo gaussiano son tres los factores que conducen al
"cisne negro": 1) el mercado no es eficiente; 2) la propia estrategia
de los agentes; 3) la interconexión de los actores propaga y multiplica los
efectos.
El éxito del habitualmente conocido como modelo de Black-Scholes se debió en
gran parte a que los precios calculados teóricamente con la fórmula eran
coherentes con los que hasta entonces se habían calculado empíricamente
basándose en la experiencia de varios años en el oficio. No obstante, a pesar
de su aceptación las hipótesis de base del modelo Black-Scholes son demasiado
fuertes y generalmente alejadas de la realidad. Por ejemplo, el modelo supone la
existencia de un mercado financiero ideal, con una liquidez fluida y sin
racionamiento Y sin costes de transacción (compras o ventas). A un mercado de
estas características se le considera "completo" en teoría
financiera, concepto que traducido al lenguaje corriente significa que los
bancos que venden los contratos que dan derecho a las opciones pueden poner en
pie una estrategia de cobertura perfecta del riesgo.
Antes bien, el mercado real es típicamente incompleto: el cálculo de la
cobertura dinámica del riesgo es con frecuencia un problema abierto. El caso de
los productos derivados que tienen como subyacentes créditos, tales las
"subprime" americanas, constituyen un ejemplo paradigmático de crisis
a la que puede abocar la ausencia de cobertura desde el momento que se
encuentra adosada a una complejidad técnica creciente, en aras de satisfacer
montajes financieros arborescentes, y sobre todo a una deriva especulativa
perpetua.
Riesgo individual mejor gestionado, riesgo sistémico exacerbado. Los mercados
financieros ocupan una plaza creciente en los sistemas financieros. Su utilidad
proviene de que permite compartir y diversificar los riesgos así como
transferirlos a quienes están más dispuestos o son más capaces de asumirlos y
soportarlos. Por otra parte, permite movilizar el ahorro hacia las asignaciones
más rentables y productivas manteniendo la liquidez del conjunto. Estas
funciones conllevan transacciones voluminosas. La cuestión es saber si la
industria financiera que asegura estas funciones lo hace de forma eficaz.
La diversificación sistemática de las carteras, que minimizan los riesgos
individuales, acrecienta el riesgo sistémico creando nuevas interdependencias
entre los mercados al generar factores de desestabilización colectiva que
arrastran a una espiral perversa a los bancos, que se contaminan unos a otros,
y provocan un racionamiento o peor aun una sequia del crédito a particulares y
Estados con el correspondiente impacto letal en la economía real.
Para concluir, señalemos el misterioso crash del 6 de mayo 2010: el índice Dow
Jones perdió el 10% en pocos minutos antes de normalizarse de nuevo. Es este
otro ejemplo de las interdependencias perversas que surgen en la finanza
moderna por la actuación de superordenadores que se enfrentan en cada instante
siguiendo las órdenes de algoritmos secretos (High Frequency Trading) que
intercambian infinidad de órdenes de compra y de venta inmediatamente anuladas
en un gigantesco combate colectivo que muy pocos dominan y que escapan a los
reguladores, al no disponer de tales medios, incapaces de vigilarlos.
Juan José R. Calaza es economista y matemático
Guillermo de la Dehesa es presidente del Centre for Economic Policy Research
(CEPR Londres)
No hay comentarios:
Publicar un comentario